Perturbation theory 기반 비선형 보정(SPT, EFT of LSS)

우주의 밀도 요동은 초기에는 매우 작아 선형 근사가 잘 성립하지만, 시간이 지남에 따라 gravitational instability가 비선형적으로 강화되면서 small-scale에서는 선형 이론이 더 이상 적용되지 않는다. 이로 인해 matter power spectrum과 correlation function은 복잡한 비선형 성장을 겪게 되고, 이를 정밀하게 기술하기 위해 perturbation theory 기반의 다양한 확장 기법이 개발되었다. 그중 Standard Perturbation Theory(SPT)와 Effective Field Theory of Large-Scale Structure(EFT of LSS)는 비선형 보정을 위한 대표적 이론적 틀로, numerical simulation 없이도 분석적 제어가 가능한 방법을 제공한다. SPT는 density contrast와 velocity divergence를 perturbative expansion으로 전개해 비선형 계수를 계산하고, EFT of LSS는 small-scale physics가 large-scale mode에 주는 영향을 효과적 파라미터로 흡수해 이론을 정교화한다. 특히 EFT of LSS는 halo formation과 baryonic effects처럼 작은 스케일에서의 복잡한 물리가 large-scale clustering에 미치는 영향을 체계적으로 보정할 수 있다는 점에서 현대 우주론 분석에서 필수적인 도구로 자리 잡았다. 이번 글에서는 SPT의 기본 개념, 비선형 kernel 구조, EFT of LSS의 의미와 counterterm 도입 원리, power spectrum 및 bispectrum 분석에의 응용을 전문적으로 정리한다.

Standard Perturbation Theory(SPT)의 기본 구조

SPT는 density contrast δ와 velocity divergence θ를 선형 해를 기준으로 perturbative expansion 하는 방식으로 구성된다. density field는 δ = δ₁ + δ₂ + δ₃ + … 형태로 전개되며, 각 차수는 gravitational evolution equation을 순차적으로 풀어 얻어낸 비선형 correction이다. 이 과정에서 등장하는 F₂, F₃ 같은 perturbation kernel은 mode coupling을 설명하는 핵심 요소로, 작은 스케일의 mode가 큰 스케일의 mode와 어떻게 상호작용하여 비선형 구조를 만드는지 정량적으로 표현한다. SPT의 강점은 analytic controllability에 있다. perturbation kernel의 구조적 형태를 통해 비선형 푸리에 모드 결합의 shape dependence를 분석할 수 있고, power spectrum과 bispectrum의 비선형 보정을 정식으로 계산할 수 있다. 그러나 small-scale의 강한 비선형 영역에서는 perturbation expansion이 발산하거나 정확도가 크게 떨어지는 한계가 존재한다. 이러한 한계 때문에 SPT는 large-scale 또는 mildly nonlinear regime에서 주로 사용된다.

SPT의 한계와 모드 결합 문제

SPT의 가장 큰 약점은 small-scale non-linear regime에서 perturbative expansion이 더 이상 수렴하지 않는다는 점이다. gravitational collapse는 perturbative expansion으로는 정확히 모사하기 어렵고, halo formation 과정처럼 비선형적이고 국소화된 현상은 SPT가 직접적으로 설명할 수 없다. 그 결과 SPT는 power spectrum의 small-scale 보정을 과도하게 예측하거나 비현실적인 모양을 생성하는 경향이 있다. 특히 ultraviolet(UV) mode와 infrared(IR) mode의 coupling 문제는 SPT에서 매우 복잡한 형태로 나타난다. small-scale mode의 비선형성과 large-scale mode의 장파장 변동이 서로 결합하면서 perturbation series가 breakdown을 일으키고, 이 문제는 SPT만으로는 해결할 수 없다. 이러한 이유로 small-scale physics를 효과적 파라미터로 흡수해 해결하는 EFT of LSS가 등장하게 되었다.

Effective Field Theory of Large-Scale Structure(EFT of LSS)의 도입 원리

EFT of LSS는 small-scale physics가 large-scale clustering에 미치는 영향을 “효과적(counterterm) 파라미터”로 흡수해 perturbation theory의 정확도를 높이는 방식이다. 즉 halo formation, baryonic feedback, small-scale velocity dispersion 등 복잡한 물리를 직접 계산하지 않고도 그 영향을 계수 형태로 모델링해 큰 스케일의 유효 이론으로 흡수한다. 이 이론의 핵심 개념은 renormalization이다. SPT의 UV-divergent contribution을 counterterm으로 상쇄해 physical prediction만 남기는 방식이며, 그 결과 EFT of LSS는 small-scale physics의 상세한 모델링 없이도 large-scale observables를 정확하게 예측할 수 있다. power spectrum에서는 c_s²k²P_lin(k) 형태의 counterterm이 대표적이며, bispectrum에서도 다양한 renormalized kernel이 도입된다.

Power spectrum·bispectrum 분석에서의 적용과 현대 우주론적 활용

EFT of LSS는 power spectrum과 bispectrum에서 SPT가 가지는 한계를 극복하고 훨씬 넓은 스케일에서 정확한 비선형 보정을 가능하게 한다. 특히 large-scale galaxy survey의 핵심 분석인 BAO feature reconstruction과 redshift-space distortion(RSD) 분석에서 EFT 기반 모델링은 필수적이다. SPT는 linear bias와 간단한 비선형 항만으로는 부족하지만, EFT는 bias expansion을 통해 halo bias, tidal bias, stochastic term까지 정교하게 모델링할 수 있다. 또한 EFT of LSS는 neutrino mass, modified gravity, dark energy clustering 효과가 matter power spectrum에 미치는 영향을 모델링할 때도 중요한 도구로 사용된다. perturbation kernel과 counterterm의 확장 구조 덕분에 다양한 cosmology parameter space에서 안정적 예측이 가능하며, simulation calibration과 결합하면 high-precision cosmology에 필수적인 이론적 기반을 제공한다.

SPT와 EFT of LSS는 비선형 LSS 분석의 핵심 이론적 기반이다

Standard Perturbation Theory는 비선형 구조 형성을 가장 기본적인 perturbative 방식으로 설명하는 이론적 출발점이며, mode coupling과 비선형 kernel 구조를 분석적으로 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 그러나 strong non-linearity가 등장하는 small-scale에서는 이론적 한계가 뚜렷하다. Effective Field Theory of Large-Scale Structure는 이러한 한계를 보완하며, small-scale physics의 효과를 counterterm과 renormalization으로 흡수해 large-scale observables를 정밀하게 예측할 수 있게 한다. 이 두 이론은 numerical simulation과 observational analysis 사이를 이어주는 핵심 이론적 도구로, 앞으로의 precision cosmology 시대에도 중심 역할을 수행할 것이다.

이 글은 SPT와 EFT of LSS의 이론적 구조와 비선형 보정 원리를 설명한 것이며, 실제 parameter fitting과 simulation comparison은 전문 연구에서 더 깊이 다뤄진다.